テトラ道のルール

正四面体が元の向きに戻る経路を、盤面からなぞって探す。

マスが表すもの

盤面は5×5で、どのマスにも正四面体を回す操作が一つ入っている。

床には三角形が描いてあり、その頂点に a、b、c の印がある。 マスの操作は、この三つの頂点のどれかを軸にして、正四面体を120°回すことである。 塗りつぶした点は時計回り、白抜きの点は反時計回りを表す。 反時計回りのマスには a⁻¹ のように逆元の記号が入る。

軸は床に固定されていて、四面体といっしょには動かない。 だから何回回しても、四面体は最初と同じ位置に戻ってくる場所が12通りあり、そのうちの一つが元の向きである。

なぞる

上下左右に隣り合うマスを、指またはマウスでつないでなぞる。 斜めにはつながらない。 一度通ったマスをもう一度通ることもできない。

なぞった順に回転が重なる。 最初のマスが元の向きの四面体を回し、次のマスがその結果をさらに回す。

一つ前のマスに指を戻すと、その手は取り消される。 四面体も取り消した分だけ戻るので、長い経路は先を読まずに手探りで組み立ててよい。

消える条件

指を離した時点で四面体が元の向きに戻っていれば、なぞったマスが消える。 戻っていなければ消えず、残り時間が5秒減る。

ただし、打ち消しを除いたあとに3つ以上残る経路でなければ消えない。 打ち消しとは、隣り合う a と a⁻¹ のように、同じ軸で向きが逆の2手のことである。 この2手はどこにあっても回転としては何もしないので、除いたうえで長さを数える。

なぞっている間、打ち消し合っている部分は線が細い破線に変わり、そのマスの色も沈む。 指を離す前に、その経路のどこが得点にならないかが見える。

打ち消しを除いて1手か2手だけ残る経路が、元の向きに戻ることはない。 1手はそれ自体が120°の回転であり、2手が元に戻るのは互いに逆元のときだけで、それは打ち消しとして除かれているからである。 つまりこの条件は、全部打ち消えてしまう経路を消さない、という意味になる。

消えたマスの上にあったマスは下に落ち、空いた分は上から補充される。

得点と時間

得点は、打ち消しを除いたあとの長さの2乗である。 長さ3の経路は9点、長さ6の経路は36点になる。 短い経路を数多く消すより、長い経路を一度成立させるほうが大きい。

1回の持ち時間は90秒で、外すたびに5秒減る。

なぞる前に分かること

時計回りの手数から反時計回りの手数を引いた値は、3で割った余りだけなら、経路の組み方によらず決まる。 元の向きの余りは0である。 だから差が3の倍数でない経路は、最後まで回してみるまでもなく戻らない。

逆は成り立たない。 差が3の倍数でも戻らない経路はある。 余りが0になる向きは12通りのうち4通りあり、そのうち元の向きは1つだけだからである。

立体の見かた

画面の四面体は、いまの向きをそのまま映している。 面の一つに e が書いてあり、これが手前に正しく見えている状態が元の向きである¹。 経路が閉じた瞬間に e が光るので、指を離す前に成立を確かめられる。

「なぞり中に立体を回す」を切ると、四面体はなぞっている間は動かず、指を離してから経路全体を再生する。 自分の頭の中で回しておいて、答え合わせとして見る遊び方になる。

今日の盤面

「今日の盤面」は日付から作られるので、同じ日なら誰が開いても同じ配置になる。 「ランダム盤面」は毎回新しい配置を作る。

背景にある群

a、b、c が生む回転は全部で12通りあり、これは4次交代群 A₄ と呼ばれる群になっている。 正四面体を正四面体に重ねる回転がちょうど12通りある、という事実がそのまま盤面になっている。

この群では a を3回続けると元に戻り、a、b、c をこの順に1回ずつ通っても元に戻る。 盤面で見つかる最短の消える経路は、たいていこのどちらかである。 長い経路は、この二つの関係式を組み合わせて作られていると考えてよい。

あそぶ →